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已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件:(1)aij=Aij(i,j=1,2,…,n),其中Aij是aij的代数余子式;(2)a11≠0.求|A|.
已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件:(1)aij=Aij(i,j=1,2,…,n),其中Aij是aij的代数余子式;(2)a11≠0.求|A|.
admin
2015-07-22
114
问题
已知n(n≥3)阶实矩阵A=(a
ij
)
n×n
满足条件:(1)a
ij
=A
ij
(i,j=1,2,…,n),其中A
ij
是a
ij
的代数余子式;(2)a
11
≠0.求|A|.
选项
答案
由已知a
ij
=A
ij
,所以A
*
=A
T
,且 AA
*
=AA
T
=|A|E. 两边取行列式得 |AA
T
|=|A|
T
=||A|E|=|A|
n
. 从而 |A|=1 或 |A|=0. 由于a
11
≠0,可知 |A|=a
11
A
11
+a
12
A
11
+…+a
1n
A
1n
=a
11
2
+a
12
2
+…+a
ln
2
>0. 于是|A|=1.
解析
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考研数学三
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