设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

admin2016-01-25 39

问题设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

选项

答案令 F(x)＝[*]＝f(a)g(x)－g(a)f(x)，则F(x)满足拉格朗日中值定理的各个条件．因 F(a)＝f(a)g(a)－g(a)f(a)＝0， F(b)＝f(a)g(b)一g(a)f(b)，则存在ξ∈(a，b)，使 F(b)一F(a)＝(b－a)F′(ξ)，即 f(a)g(b)－g(a)f(b)＝(b一a)［f(a)g′(ξ)一g(a)f′(ξ)]，亦即 [*]

解析从待证等式出现b一a因子，使人猜想到可能使用拉格朗日中值定理证之．但使用该定理的函数是什么?如何找?可将待证等式右边中的ξ变为x，去掉导数符号得到

＝f(a)g(x)－g(a)f(x)，
此为所要找的辅助函数．

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考研数学三

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