2. 考研
  3. 设微分方程xy′+2y=2(ex－1)． (Ⅰ)求上述微分方程的通解，并求使y(x)存在的那个解(将该解记为y0(x))，以及极限值y0(x)； (Ⅱ)补充定义之后使y0(x)在x=0处连续，求y′0(x)，并请证明：无论x=0还是x≠0，y′0(x)均连

设微分方程xy′+2y=2(ex－1)． (Ⅰ)求上述微分方程的通解，并求使y(x)存在的那个解(将该解记为y0(x))，以及极限值y0(x)； (Ⅱ)补充定义之后使y0(x)在x=0处连续，求y′0(x)，并请证明：无论x=0还是x≠0，y′0(x)均连

admin2016-07-22  81
问题 设微分方程xy′+2y=2(ex－1)．
(Ⅰ)求上述微分方程的通解，并求使y(x)存在的那个解(将该解记为y0(x))，以及极限值y0(x)；
(Ⅱ)补充定义之后使y0(x)在x=0处连续，求y′0(x)，并请证明：无论x=0还是x≠0，y′0(x)均连续．
选项
答案(Ⅰ)当x≠0时，原方程化为 y′+[*] 由一阶线性方程的通解公式，得通解 [*] 其中C为任意常数． 由上述表达式可知，[*]y(x)存在的必要条件是 [*](2xex－2ex－x2+C)=0，即C=2． 当C=2时，对应的y(x)记为y0(x)=[*]， [*] (Ⅱ)令 [*] 而当x≠0时， [*] 所以 [*]y′0(x)=y′0(0)， y′0在x=0处连续，又y′0(x)在x≠0处也连续(初等函数)，故无论x=0还是x≠0， [*] 均连续．
解析
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考研数学二

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