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设微分方程xy′+2y=2(ex-1). (Ⅰ)求上述微分方程的通解,并求使y(x)存在的那个解(将该解记为y0(x)),以及极限值y0(x); (Ⅱ)补充定义之后使y0(x)在x=0处连续,求y′0(x),并请证明:无论x=0还是x≠0,y′0(x)均连
设微分方程xy′+2y=2(ex-1). (Ⅰ)求上述微分方程的通解,并求使y(x)存在的那个解(将该解记为y0(x)),以及极限值y0(x); (Ⅱ)补充定义之后使y0(x)在x=0处连续,求y′0(x),并请证明:无论x=0还是x≠0,y′0(x)均连
admin
2016-07-22
48
问题
设微分方程xy′+2y=2(e
x
-1).
(Ⅰ)求上述微分方程的通解,并求使
y(x)存在的那个解(将该解记为y
0
(x)),以及极限值
y
0
(x);
(Ⅱ)补充定义之后使y
0
(x)在x=0处连续,求y′
0
(x),并请证明:无论x=0还是x≠0,y′
0
(x)均连续.
选项
答案
(Ⅰ)当x≠0时,原方程化为 y′+[*] 由一阶线性方程的通解公式,得通解 [*] 其中C为任意常数. 由上述表达式可知,[*]y(x)存在的必要条件是 [*](2xe
x
-2e
x
-x
2
+C)=0,即C=2. 当C=2时,对应的y(x)记为y
0
(x)=[*], [*] (Ⅱ)令 [*] 而当x≠0时, [*] 所以 [*]y′
0
(x)=y′
0
(0), y′
0
在x=0处连续,又y′
0
(x)在x≠0处也连续(初等函数),故无论x=0还是x≠0, [*] 均连续.
解析
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0
考研数学二
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