2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

admin2012-02-21  82
问题 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．
选项
答案设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0． 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是 m≤f(0)≤M， m≤f(1)≤M， m≤f(2)≤M．故 [*] 这表明1/2[f(0)+f(1)+f(2)]是甬数f(x)当x∈[0,2]时的值域[m，M]上的一个点．由闭区间上连续函数的最大、最小值定理与介值定理知，至少存在一点c ∈[0，2]，使 [*] 因为f(c)=1=f(3)，且f(x)在在[c, 3] 上连续，在(c，3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在ξ∈(c，3)∈(0，3)，使f’(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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