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设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0.
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0.
admin
2012-02-21
54
问题
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0.
选项
答案
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0. 因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是 m≤f(0)≤M, m≤f(1)≤M, m≤f(2)≤M.故 [*] 这表明1/2[f(0)+f(1)+f(2)]是甬数f(x)当x∈[0,2]时的值域[m,M]上的一个点.由闭区间上连续函数的最大、最小值定理与介值定理知,至少存在一点c ∈[0,2],使 [*] 因为f(c)=1=f(3),且f(x)在在[c, 3] 上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知,必存在ξ∈(c,3)∈(0,3),使f’(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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