设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ),若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r.证明:(Ⅰ)与 (Ⅱ)等价.

admin2015-07-22  41

问题 设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ),若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r.证明:(Ⅰ)与 (Ⅱ)等价.

选项

答案设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ1,ξ2,…,ξr,(1I)的一个极大无关组为η1,η2,…,ηr. 因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)表示,即ξ1,ξ2,…,ξr可由η1,η2,…,ηr线性表示,于是 r(ξ1,ξ2,…,ξr,η1,η2,…,ηr)=r(η1,η2,…,ηr)=r 又ξ1,ξ2,…,ξr线性无关,则ξ1,ξ2,…,ξr也可作为ξ1,ξ2,…,ξr,η1,η2,…,ηr的一个极大无关组,于是η1,η2,…,ηr也可由ξ1,ξ2,…,ξr表示,即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)表示,得证.

解析
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