（2004年真题）f(x)为连续函数，且∫0πf(xsinx)sinxdx=1，则∫0πf(xsinx)xcosxdx=[ ]。

admin2015-04-14 99

问题（2004年真题）f(x)为连续函数，且∫₀^πf(xsinx)sinxdx=1，则∫₀^πf(xsinx)xcosxdx=[ ]。

选项 A、0
B、1
C、-1
D、π

答案C

解析本题考查牛顿-莱布尼茨公式及微分法则。
解法1
设f(x)的一个原函数是F(x)，则
∫₀^πf(xsinx)d(xsinx)F(xsinx)|₀^π=0，0=∫₀^πf(xsinx)d(xsinx)=∫₀^πf(xsinx)[sinxdx+xcosxdx]=∫₀^πf(zsinx)sinxdx+∫₀^πf(xsinx)xcosxdx=1+∫₀^πf(xsinx)xcosxdx，
所以∫₀^πf(xsinx)xcosxdx=-1。
故正确选项为C。
解法2
特殊值代入法。注意到∫₀^πsinxdx=-cos|₀^π=2，取f(xsinx)=