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设f(χ)=∫-1χt3|t|dt,(Ⅰ)求函数f(χ)的单调性区间与正、负值区间. (Ⅱ)求曲线y=f(χ)与χ轴所围成的封闭图形的面积.
设f(χ)=∫-1χt3|t|dt,(Ⅰ)求函数f(χ)的单调性区间与正、负值区间. (Ⅱ)求曲线y=f(χ)与χ轴所围成的封闭图形的面积.
admin
2017-11-21
87
问题
设f(χ)=∫
-1
χ
t
3
|t|dt,(Ⅰ)求函数f(χ)的单调性区间与正、负值区间.
(Ⅱ)求曲线y=f(χ)与χ轴所围成的封闭图形的面积.
选项
答案
(Ⅰ)f′(χ)=[*] [*]f(χ)在(-∞,0]↘,在[0,+∞)[*]. 为求f(χ)的正负值区间,先求出使f(χ)=0的χ值.易知 f(-1)=∫
-1
-1
t
3
|t|dt=0,f(1)=∫
-1
1
t
3
|t|dt=0。 再由f(χ)的单调性知, f(χ)>f(-1)=0(χ<-1),f(χ)>f(1)=0(χ>1) f(χ)<f(-1)=0(-1<χ≤0), f(χ)<f(1)(0≤χ<1) 因此f(χ)>0(χ∈(-∞,-1)或χ∈(1,+∞)) f(χ)<0(χ∈(-1,1)) (Ⅱ)曲线y=f(χ)与χ轴所围成的封闭图形是 {(χ,y)|-1≤χ≤1,f(χ)≤y≤0} 如下图所示: [*] 该图形的面积 A=∫
-1
1
|f(χ)|dχ=|∫
-1
1
f(χ)dχ|(因为f(χ)在(-1,1)恒负值) =|χf(χ)|
-1
1
-∫
-1
1
χf′(χ)dχ| =2∫
0
1
χ.χ
3
|χ|dχ=2∫
0
2
χ
5
dχ =[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6ZbD777K
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考研数学二
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