设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,(x)dx=2,证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=4.

admin2016-03-26  53

问题 设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,(x)dx=2,证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=4.

选项

答案由分部积分,得 [*] 于是[*]f(x)dx=-2. 由拉格朗日中值定理,得f(x)=f(x)一f(1)=f’(η)(x一1),其中η∈(x,1), f(x)=f’(η)(x一1)两边对x从0到1积分,得[*]f(x)dx=[*]f’(η)(x一1)dx=一2.因为f’(x)在[0,1]上连续,所以f’(z)在[0,1]上取到最小值m和最大值M, 由M(x一1)≤f’(η)(x-1)≤m(x一1)两边对x从0到1积分, 得一[*]≤[*]f’(η)(x一1)dx≤-[*],即m≤4≤M, 由介值定理,存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=4.

解析
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