设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．

admin2016-03-26 73

问题设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，

(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．

选项

答案由分部积分，得 [*] 于是[*]f(x)dx=－2. 由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)一f(1)=f’(η)(x一1)，其中η∈(x，1)， f(x)=f’(η)(x一1)两边对x从0到1积分，得[*]f(x)dx=[*]f’(η)(x一1)dx=一2．因为f’(x)在[0，1]上连续，所以f’(z)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x一1)≤f’(η)(x－1)≤m(x一1)两边对x从0到1积分，得一[*]≤[*]f’(η)(x一1)dx≤－[*]，即m≤4≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．

解析

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考研数学三

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