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  3. 证明方程3x-1-[*]=0在区间(0，1)内有唯一的实根。

证明方程3x-1-[*]=0在区间(0，1)内有唯一的实根。

admin2015-06-14  21
问题 证明方程3x-1-[*]=0在区间(0，1)内有唯一的实根。
选项
答案令f(x)=3x-1-[*]。则f(x)在区间[0，1]上连续。 由于[*]=1，所以f(1)=2-[*]＞0。又f(0)=-1＜0，根据连续函数的介值定理，函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点，即所给方程在(0，1)内至少有一个实根。 又f’(x)=3-[*]，当0≤x≤1时，f’(x)＞0。 因此，f(x)在[0，1]上单调增加，由此知f(x)在区间(0，1)内至多有一个零点。 综上可知，方程3x-1-[*]=0在区间(0，1)内有唯一的实根。
解析 首先设f(x)=3x-1-，然后验证f(x)在[0，1]上满足介值定理条件。由介值定理得到f(x在区间(0，1)内至少有一个零点(实根)，并且根据f’(x)=3-＞0(0＜x＜1)说明f(x)是单调增函数，从而得到f(x)在(0，1)内至多有一个零点。由此得到方程3x-1-=0在(0，1)内有唯一的实根。
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