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证明α1,α2,…,αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1<i≤s)能由它前面的那些向量α1,α2,…,αi-1线性表出.
证明α1,α2,…,αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1<i≤s)能由它前面的那些向量α1,α2,…,αi-1线性表出.
admin
2016-10-26
44
问题
证明α
1
,α
2
,…,α
s
(其中α
1
≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个α
i
(1<i≤s)能由它前面的那些向量α
1
,α
2
,…,α
i-1
线性表出.
选项
答案
必要性.因为α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,故有不全为0的k
1
,k
2
,…,k
s
,使 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0. 设k
s
,k
s-1
,…,k
2
,k
1
中第一个不为0的是k
i
(即k
i
≠0,而k
i+1
=…=k
s-1
=k
s
=0),且必有i>1(若i=1即k
1
≠0,k
2
=…=k
s
=0,那么k
1
α
1
=0.于是α
1
=0与α
1
≠0矛盾.),从而k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
i
α
i
=0, k
i
≠0.那么α
i
=[*](k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
i-1
α
i-1
). 充分性.因为有α
i
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
i-1
α
i-1
,于是 l
1
α
1
+…+l
i-1
α
i-1
-α
i
+0α
i+1
+…+0α
s
=0. 又因l
1
,…,l
i-1
,一1,0,…,0不全为0,故α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关.
解析
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考研数学一
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