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设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵。
设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵。
admin
2015-09-14
46
问题
设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵。
选项
答案
(AB)
T
=B
T
A
T
=BA=AB,故AB也是实对称矩阵。因A正定,有正定阵S,使A=S
2
。于是S
-1
(AB)S=S
-1
SSBS=SBS=S
T
BS由B正定,知S
T
BS正定,故S
T
BS的特征值全大干0,故与之相似的矩阵AB的特征值全大于0,因此AB正定。
解析
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考研数学三
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