设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵。

admin2015-09-14 43

问题设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵。

选项

答案(AB)^T=B^TA^T=BA=AB，故AB也是实对称矩阵。因A正定，有正定阵S，使A=S²。于是S^-1(AB)S=S^-1SSBS=SBS=S^TBS由B正定，知S^TBS正定，故S^TBS的特征值全大干0，故与之相似的矩阵AB的特征值全大于0，因此AB正定。

解析

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