2. 考研
  3. 设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v．证明 ∫u(x)v(x)f(t)dt=f(v(x))v’(x)-f(u(x))u’(x)．

设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v．证明 ∫u(x)v(x)f(t)dt=f(v(x))v’(x)-f(u(x))u’(x)．

admin2022-11-23  34
问题 设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v．证明
    ∫u(x)v(x)f(t)dt=f(v(x))v’(x)-f(u(x))u’(x)．
选项
答案取f(x)定义域内一点a，则 ∫u(x)v(x)f(t)dt-∫av(x)f(t)dt-∫au(x)f(t)dt． 令F(x)=∫axf(t)dt，则F’(x)=f(x)，且∫u(x)v(x)f(t)dt=F(v(x))-F(u(x))， 于是 [*]=F’(v(x))v’(x)-F’(u(x))u’(x) =f(v(x))v’(x)-f(u(x))u’(x)．
解析
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考研数学二

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