设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v．证明 ∫u(x)v(x)f(t)dt=f(v(x))v’(x)-f(u(x))u’(x)．

admin2022-11-23 35

问题设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v．证明

∫_u(x)^v(x)f(t)dt=f(v(x))v’(x)-f(u(x))u’(x)．

选项

答案取f(x)定义域内一点a，则 ∫_u(x)^v(x)f(t)dt-∫_a^v(x)f(t)dt-∫_a^u(x)f(t)dt．令F(x)=∫_a^xf(t)dt，则F’(x)=f(x)，且∫_u(x)^v(x)f(t)dt=F(v(x))-F(u(x))，于是 [*]=F’(v(x))v’(x)-F’(u(x))u’(x) =f(v(x))v’(x)-f(u(x))u’(x)．

解析

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考研数学二

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