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在数据处理应用中,有时需要用多项式函数曲线来拟合一批实际数据。以下图中,(55)体现了三次多项式曲线的特征。
在数据处理应用中,有时需要用多项式函数曲线来拟合一批实际数据。以下图中,(55)体现了三次多项式曲线的特征。
admin
2009-04-07
96
问题
在数据处理应用中,有时需要用多项式函数曲线来拟合一批实际数据。以下图中,(55)体现了三次多项式曲线的特征。
选项
A、
B、
C、
D、
答案
A
解析
三次多项式Y=f(x)的曲线有以下几个特征:
(1)三次多项式的定义域与值域均为(-∞,+∞),所以,值域不能覆盖整个数轴的选择答案C与D应排除。
(2)三次多项式f(x)曲线与水平线Y=a(a为任意常数)的交点数,应等于三次方程 f(x)-a=0的实根数,所以,一定为1,2或3,不可能是0,也不可能超过3。根据该特征,也可以排除选择答案C、D。
(3)x→-∞或x→+∞时,三次多项式f(x)的值也会趋于无穷,而且会在一端趋于-∞,另一端趋于+∞。根据该特征,同样可以排除选择答案C、D。
(4)三次多项式的导函数f′(x)为二次多项式,其二阶导函数f″(x)为一次多项式。 f′(x)的正负性描述了f(x)曲线的递增递减性,f″(x)的正负性体现了f(x)曲线的凹凸性。
由于f′(x)为二次函数,其正负性的变化至多改变2次,因此三次多项式的递增、递减情况也最多改变2次(从直观看,升降性最多分三段)。
由于f″(x)为一次函数(线性),其正负性至多改变一次,因此三次多项式的凹凸性也至多改变一次。
选择答案A与B中,f(x)曲线从左到右都是先递增,再递减,又递增,改变了2次。
选择答案A中,f(x)曲线的凹凸性变化从左到右为先凸,再凹,改变了1次。
选择答案B中,f(x)曲线的凹凸性变化从左到右为先凹,再凸,又凹,改变了2次,因此,不符合三次多项式的特征。
从而,选择答案B、C、D都不可能是三次多项式曲线。
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