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  3. 在数据处理应用中，有时需要用多项式函数曲线来拟合一批实际数据。以下图中，(55)体现了三次多项式曲线的特征。

在数据处理应用中，有时需要用多项式函数曲线来拟合一批实际数据。以下图中，(55)体现了三次多项式曲线的特征。

admin2009-04-07  93
问题 在数据处理应用中，有时需要用多项式函数曲线来拟合一批实际数据。以下图中，(55)体现了三次多项式曲线的特征。
选项 A、
B、
C、
D、
答案A
解析 三次多项式Y=f(x)的曲线有以下几个特征：
   (1)三次多项式的定义域与值域均为(-∞，+∞)，所以，值域不能覆盖整个数轴的选择答案C与D应排除。
   (2)三次多项式f(x)曲线与水平线Y=a(a为任意常数)的交点数，应等于三次方程 f(x)-a=0的实根数，所以，一定为1，2或3，不可能是0，也不可能超过3。根据该特征，也可以排除选择答案C、D。
   (3)x→-∞或x→+∞时，三次多项式f(x)的值也会趋于无穷，而且会在一端趋于-∞，另一端趋于+∞。根据该特征，同样可以排除选择答案C、D。
   (4)三次多项式的导函数f′(x)为二次多项式，其二阶导函数f″(x)为一次多项式。 f′(x)的正负性描述了f(x)曲线的递增递减性，f″(x)的正负性体现了f(x)曲线的凹凸性。
   由于f′(x)为二次函数，其正负性的变化至多改变2次，因此三次多项式的递增、递减情况也最多改变2次(从直观看，升降性最多分三段)。
   由于f″(x)为一次函数(线性)，其正负性至多改变一次，因此三次多项式的凹凸性也至多改变一次。
   选择答案A与B中，f(x)曲线从左到右都是先递增，再递减，又递增，改变了2次。
   选择答案A中，f(x)曲线的凹凸性变化从左到右为先凸，再凹，改变了1次。
   选择答案B中，f(x)曲线的凹凸性变化从左到右为先凹，再凸，又凹，改变了2次，因此，不符合三次多项式的特征。
   从而，选择答案B、C、D都不可能是三次多项式曲线。
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