2. 考研
  3. 设函数f在(a,b)上连续，且f(a+0)与f(b-0)为有限值．证明： (1)f在(a，b)内有界； (2)若存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)≥max{f(a+0),f(b-0)}．则f在(a，b)内能取到最大值； (3)f在(a

设函数f在(a,b)上连续，且f(a+0)与f(b-0)为有限值．证明： (1)f在(a，b)内有界； (2)若存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)≥max{f(a+0),f(b-0)}．则f在(a，b)内能取到最大值； (3)f在(a

admin2022-10-31  22
问题 设函数f在(a,b)上连续，且f(a+0)与f(b-0)为有限值．证明：
    (1)f在(a，b)内有界；
    (2)若存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)≥max{f(a+0),f(b-0)}．则f在(a，b)内能取到最大值；
    (3)f在(a．b))上一致连续
选项
答案(1)令F(x)=[*]因为f在(a，b)连续．所以F(x)在[a，b]连续． 因此，F(x)在[a，b]上有界，所以F(x)在(a，b)上亦有界．即f在(a．b)上有界． (2)因为F(x)在[a，b]上连续．所以F(x)在[a．b]上能取得最大值．又因为[*]ξ∈(a，b)，使f(ξ)≥max{f(a+0),f(b-0)}．即 F(ξ)≥max{f(a+0)，f(b-0)}． 所以F(x)在[a，b]上的最大值可以在(a，b)内取得，即f(x)在(a，b)内能取到最大值． (3)由(1)知F(x)和[a，b]上连续，所以F(x)在[a,b]上一致连续．显然，f(x)在(a，b)上一致连续．
解析
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考研数学三

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