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设函数f在(a,b)上连续,且f(a+0)与f(b-0)为有限值.证明: (1)f在(a,b)内有界; (2)若存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)≥max{f(a+0),f(b-0)}.则f在(a,b)内能取到最大值; (3)f在(a
设函数f在(a,b)上连续,且f(a+0)与f(b-0)为有限值.证明: (1)f在(a,b)内有界; (2)若存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)≥max{f(a+0),f(b-0)}.则f在(a,b)内能取到最大值; (3)f在(a
admin
2022-10-31
27
问题
设函数f在(a,b)上连续,且f(a+0)与f(b-0)为有限值.证明:
(1)f在(a,b)内有界;
(2)若存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)≥max{f(a+0),f(b-0)}.则f在(a,b)内能取到最大值;
(3)f在(a.b))上一致连续
选项
答案
(1)令F(x)=[*]因为f在(a,b)连续.所以F(x)在[a,b]连续. 因此,F(x)在[a,b]上有界,所以F(x)在(a,b)上亦有界.即f在(a.b)上有界. (2)因为F(x)在[a,b]上连续.所以F(x)在[a.b]上能取得最大值.又因为[*]ξ∈(a,b),使f(ξ)≥max{f(a+0),f(b-0)}.即 F(ξ)≥max{f(a+0),f(b-0)}. 所以F(x)在[a,b]上的最大值可以在(a,b)内取得,即f(x)在(a,b)内能取到最大值. (3)由(1)知F(x)和[a,b]上连续,所以F(x)在[a,b]上一致连续.显然,f(x)在(a,b)上一致连续.
解析
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考研数学三
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