设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e—4x+x2+3x+2，则Q(x)=，该微分方程的通解为．

admin2015-06-26 81

问题设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e^—4x+x²+3x+2，则Q(x)=__________，该微分方程的通解为__________．

选项

答案Q(x)=2+2x+3—12(x²+3x+2)=一12x²一34x一19； y=C₁e^—4x+C₂e^3x+x²+3x+2

解析显然λ=一4是特征方程λ²+λ+q=0的解，故q=一12，
即特征方程为λ²+λ一12=0，特征值为λ₁=一4，λ₂=3．
因为x²+3x+2为特征方程y"+y’一12y=Q(x)的一个特解，
所以Q(x)=2+2x+3—12(x²+3x+2)=一12x²一34x一19，
且通解为y=C₁e^—4x+C₂e^3x+x²+3x+2(其中C₁，C₂为任意常数)．

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