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设f(x)为[a,b]上的函数且满足,x1,x2∈[a,b],则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明: 若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立: ①∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),x1,x2
设f(x)为[a,b]上的函数且满足,x1,x2∈[a,b],则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明: 若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立: ①∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),x1,x2
admin
2015-07-22
68
问题
设f(x)为[a,b]上的函数且满足
,x
1
,x
2
∈[a,b],则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明:
若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立:
①
∈[0,1],f(λx
1
+(1-λ)x
2
)≤λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
),x
1
,x
2
∈[a,b];
④f(x)为(a,b)上的连续函数.
选项
答案
先证(i).由(1)有f(x)≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x—x
0
),分别取x—x
1
,x=x
2
,x
0
一λx
1
+(1一 λ)x
2
,得到 f(x
1
)≥f(x
0
)+(1一λ)f’(x
0
)(x
1
一x
2
), ① f(x
2
)≥f(x
0
)+λf’(x
0
)(x
2
一x
1
). ② λ×①+(1一λ)×②得 λf(x
1
)+(1—λ)f(x
2
)≥f(x
0
)一f(λx
1
+(1一λ)x
2
).得证. (i)可写成 [*] 由归纳法即可得证(iii),这里略去. (iii)中令λ
i
=[*],i=1,…,n,即得证(ii). 再证(iv). [*]∈[a,b],设G为|f(x)|的上界,取绝对值充分小的δ,m<n,使得 x
1
=x
2
=…=x
m
=x+nδ,x
m+1
=…=x
n
=x. 由(ii)知 [*] 令δ→0,则n→∞,故有f(x+δ)一f(x)→0,从而证明了f(x)的连续性.
解析
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考研数学三
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