设f(x)为[a,b]上的函数且满足,x1,x2∈[a,b],则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明: 若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立: ①∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),x1,x2

admin2015-07-22  49

问题 设f(x)为[a,b]上的函数且满足,x1,x2∈[a,b],则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明:
若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立:
∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),x1,x2∈[a,b];

④f(x)为(a,b)上的连续函数.

选项

答案先证(i).由(1)有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0),分别取x—x1,x=x2,x0一λx1+(1一 λ)x2,得到 f(x1)≥f(x0)+(1一λ)f’(x0)(x1一x2), ① f(x2)≥f(x0)+λf’(x0)(x2一x1). ② λ×①+(1一λ)×②得 λf(x1)+(1—λ)f(x2)≥f(x0)一f(λx1+(1一λ)x2).得证. (i)可写成 [*] 由归纳法即可得证(iii),这里略去. (iii)中令λi=[*],i=1,…,n,即得证(ii). 再证(iv). [*]∈[a,b],设G为|f(x)|的上界,取绝对值充分小的δ,m<n,使得 x1=x2=…=xm=x+nδ,xm+1=…=xn=x. 由(ii)知 [*] 令δ→0,则n→∞,故有f(x+δ)一f(x)→0,从而证明了f(x)的连续性.

解析
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