2. 考研
  3. 设f(x)为[a，b]上的函数且满足，x1，x2∈[a，b]，则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明： 若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立： ①∈[0，1]，f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，x1，x2

设f(x)为[a，b]上的函数且满足，x1，x2∈[a，b]，则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明： 若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立： ①∈[0，1]，f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，x1，x2

admin2015-07-22  46
问题 设f(x)为[a，b]上的函数且满足，x1，x2∈[a，b]，则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：
若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：
①∈[0，1]，f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]；

④f(x)为(a，b)上的连续函数．
选项
答案先证(i)．由(1)有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)，分别取x—x1，x=x2，x0一λx1+(1一 λ)x2，得到 f(x1)≥f(x0)+(1一λ)f’(x0)(x1一x2)， ① f(x2)≥f(x0)+λf’(x0)(x2一x1)． ② λ×①+(1一λ)×②得 λf(x1)+(1—λ)f(x2)≥f(x0)一f(λx1+(1一λ)x2)．得证． (i)可写成 [*] 由归纳法即可得证(iii)，这里略去． (iii)中令λi=[*]，i=1，…，n，即得证(ii)． 再证(iv)． [*]∈[a，b]，设G为|f(x)|的上界，取绝对值充分小的δ，m＜n，使得 x1=x2=…=xm=x+nδ，xm+1=…=xn=x． 由(ii)知 [*] 令δ→0，则n→∞，故有f(x+δ)一f(x)→0，从而证明了f(x)的连续性．
解析
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考研数学三

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