设向量组(Ⅰ)α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,α2,α3,α4;(Ⅲ)α1,α2,α3,α5,若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3,而向量组(Ⅲ)的秩为4.证明:向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.

admin2017-09-15  42

问题 设向量组(Ⅰ)α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,α2,α3,α4;(Ⅲ)α1,α2,α3,α5,若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3,而向量组(Ⅲ)的秩为4.证明:向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.

选项

答案因为向量组(Ⅰ)的秩为3,所以α1,α2,α3线性无关,又因为向量组(Ⅱ)的秩也为3,所以向量α4可由向量组α1,α2,α3线性表示. 因为向量组(Ⅲ)的秩为4,所以α1,α2,α3,α5线性无关,即向量α5不可由向量组α1,α2,α3线性表示,故向量α5-α4不可由α1,α2,α3线性表示,所以α1,α2,α3,α5-α4线性无关,于是向量组α1,α2,α3,α5=α4的秩为4.

解析
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