设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．

admin2016-10-24 90

问题设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫₀^kf(x)dx≥k∫₀¹f(x)dx．

选项

答案∫₀^kf(x)dx一k∫₀¹f(x)dx=∫₀^kf(x)dx一k[∫₀^kf(x)dx+∫_k¹f(x)dx] =(1一k)∫₀^kf(x)dx一kf(x)dx=k(1一k)[f(ξ₁)一f(ξ₂)] 其中ξ₁∈[0，k]，ξ₂∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少，所以∫₀^kf(x)dx一k∫₀¹f(x)dx=k(1一k)[f(ξ₁)一f(ξ₂)]≥0，故∫₀^kf(x)dx≥k∫₀¹f(x)dx．

解析

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考研数学三

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