已知f(x)连续，证明∫0xf(t)(x-t)dt=∫0x[∫0tf(u)du]dt。

admin2015-06-14 36

问题已知f(x)连续，证明∫₀^xf(t)(x-t)dt=∫₀^x[∫₀^tf(u)du]dt。

选项

答案右边=∫₀⁰[∫₀^tf(u)du]dt=[t∫₀^tf(u)du]|₀^x-∫₀^xtf(t)dt=x∫₀^xf(u)du-∫₀^xtf(t)dt =x∫₀^xf(t)dt-∫₀^xtf(t)dt=∫₀^xxf(t)dt-∫₀^xtf(t)dt =∫₀^x(x-t)f(t)dt=左边。

解析本题考查分部积分公式。只需要将右侧被积函数整体∫₀^tf(u)du看成F(t)，然后分部积分整理后就可等于左侧。

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高等数学一

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