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已知f(x)连续，证明∫0xf(t)(x-t)dt=∫0x[∫0tf(u)du]dt。

admin2015-06-14  15
问题 已知f(x)连续，证明∫0xf(t)(x-t)dt=∫0x[∫0tf(u)du]dt。
选项
答案右边=∫00[∫0tf(u)du]dt=[t∫0tf(u)du]|0x-∫0xtf(t)dt=x∫0xf(u)du-∫0xtf(t)dt =x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt=∫0xxf(t)dt-∫0xtf(t)dt =∫0x(x-t)f(t)dt=左边。
解析 本题考查分部积分公式。只需要将右侧被积函数整体∫0tf(u)du看成F(t)，然后分部积分整理后就可等于左侧。
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