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设f(x)在(x0-δ,x0+δ)有n阶连续导数,且f(k)(x0)=0,k=2,3,…,n-1;f(n)(x0)≠0.当0<|h|<δ时,f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh),(0<θ<1).求证:.
设f(x)在(x0-δ,x0+δ)有n阶连续导数,且f(k)(x0)=0,k=2,3,…,n-1;f(n)(x0)≠0.当0<|h|<δ时,f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh),(0<θ<1).求证:.
admin
2017-07-10
59
问题
设f(x)在(x
0
-δ,x
0
+δ)有n阶连续导数,且f
(k)
(x
0
)=0,k=2,3,…,n-1;f
(n)
(x
0
)≠0.当0<|h|<δ时,f(x
0
+h)-f(x
0
)=hf’(x
0
+θh),(0<θ<1).求证:
.
选项
答案
这里m=1,求的是f(x
0
+h)-f(x
0
)=hf’(x
0
+θh)(0<θ<1)当h→0时中值θ的极限.为解出θ,按题中条件,将f’(x
0
+θh)在x=x
0
展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得 [*] 代入原式得 f(x
0
+h)-f(x
0
)=hf’(x
0
)+[*]f
(n)
(x
0
)θ
n-1
h
n
+o(h
n
) ① 再将f(x
0
+h)在x=x
0
展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式 f(x
0
+h)-f(x
0
)=f’(x
0
)h+…+[*] (x
0
)h
n
+o(h
n
) =f’(x
0
)h+[*] (x
0
)h
n
+o(h
n
)(h→0), ② 将②代入①后两边除以h
n
得 [*]
解析
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0
考研数学二
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