设f(x)在(x0-δ,x0+δ)有n阶连续导数,且f(k)(x0)=0,k=2,3,…,n-1;f(n)(x0)≠0.当0<|h|<δ时,f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh),(0<θ<1).求证:.

admin2017-07-10  27

问题 设f(x)在(x0-δ,x0+δ)有n阶连续导数,且f(k)(x0)=0,k=2,3,…,n-1;f(n)(x0)≠0.当0<|h|<δ时,f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh),(0<θ<1).求证:

选项

答案这里m=1,求的是f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh)(0<θ<1)当h→0时中值θ的极限.为解出θ,按题中条件,将f’(x0+θh)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得 [*] 代入原式得 f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0)+[*]f(n)(x0n-1hn+o(hn) ① 再将f(x0+h)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式 f(x0+h)-f(x0)=f’(x0)h+…+[*] (x0)hn+o(hn) =f’(x0)h+[*] (x0)hn+o(hn)(h→0), ② 将②代入①后两边除以hn得 [*]

解析
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