2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：其中Er是，r阶单位阵．

设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：其中Er是，r阶单位阵．

admin2015-07-22  67
问题 设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：其中Er是，r阶单位阵．
选项
答案 r(A)=r，A有r个列向量线性无关，设为前r列，将A按列分块，有 A2=A[ξ1，ξ2，…，ξn]=[ξ1，ξ2，…，ξn]=A，即Aξi=ξi，i=1，2，…，r，故λ=1至少是r重根，又r(A)=r，AX=0有n-r个线性无关解，设为 ηn+1，ηn+2，…，ηn，即Aηj=0，j=r+1，…，n故A=0是A的特征值ηj，j=r+1，…，n是对应的特征向量． 令P=[ξ1，ξ2，…，ξr，ηr+1，ηn]，有P-1AP=[*]
解析
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考研数学三

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