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设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明:其中Er是,r阶单位阵.
设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明:其中Er是,r阶单位阵.
admin
2015-07-22
80
问题
设A是n阶矩阵,满足A
2
=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明:
其中E
r
是,r阶单位阵.
选项
答案
r(A)=r,A有r个列向量线性无关,设为前r列,将A按列分块,有 A
2
=A[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
]=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
]=A,即Aξ
i
=ξ
i
,i=1,2,…,r,故λ=1至少是r重根,又r(A)=r,AX=0有n-r个线性无关解,设为 η
n+1
,η
n+2
,…,η
n
,即Aη
j
=0,j=r+1,…,n故A=0是A的特征值η
j
,j=r+1,…,n是对应的特征向量. 令P=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,η
r+1
,η
n
],有P
-1
AP=[*]
解析
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考研数学三
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