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设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量;
设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量;
admin
2015-09-14
32
问题
设n阶矩阵
求A的特征值和特征向量;
选项
答案
1°当b≠0时,A的特征多项式为 [*] 故A的特征值为λ
1
=1+(n—1)b,λ
2
=…=λ
n
=1—b。 对于λ
1
=1+(n-1)b,设对应的一个特征向量为ξ
1
,则 [*] 解得ξ
1
=(1,1,…,)
T
,所以,属于λ
1
的全部特征向量为 kξ
1
=k(1,1,…,1)
T
,其中k为任意非零常数。 对于λ
2
=…=λ
n
=1—b,解齐次线性方程组[(1—b)E—A]x=0,由 [*] 解得基础解系为ξ
2
=(1,一1,0,…,0)
T
,ξ
3
=(1,0,一1,…,0)
T
,…,ξ
n
=(1,0,0,…,一1)
T
。故属于λ
2
=…=λ
n
的全部特征向量为 k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
+…+k
n
ξ
n
,其中k
2
,k
3
,…,k
n
为不全为零的任意常数。 2°当b=0时,A=E,A的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=1,任意n维非零列向量均是A的特征向量。
解析
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考研数学三
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