设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量;

admin2015-09-14  30

问题 设n阶矩阵

求A的特征值和特征向量;

选项

答案1°当b≠0时,A的特征多项式为 [*] 故A的特征值为λ1=1+(n—1)b,λ2=…=λn=1—b。 对于λ1=1+(n-1)b,设对应的一个特征向量为ξ1,则 [*] 解得ξ1=(1,1,…,)T,所以,属于λ1的全部特征向量为 kξ1=k(1,1,…,1)T,其中k为任意非零常数。 对于λ2=…=λn=1—b,解齐次线性方程组[(1—b)E—A]x=0,由 [*] 解得基础解系为ξ2=(1,一1,0,…,0)T,ξ3=(1,0,一1,…,0)T,…,ξn=(1,0,0,…,一1)T。故属于λ2=…=λn的全部特征向量为 k2ξ2+k3ξ3+…+knξn,其中k2,k3,…,kn为不全为零的任意常数。 2°当b=0时,A=E,A的特征值为λ12=…=λn=1,任意n维非零列向量均是A的特征向量。

解析
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