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  3. 不用求出函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)的导数，说明f’(x)＝0有几个实根，并指出它们所在的区间．

不用求出函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)的导数，说明f’(x)＝0有几个实根，并指出它们所在的区间．

admin2021-08-18  6
问题 不用求出函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)的导数，说明f’(x)＝0有几个实根，并指出它们所在的区间．
选项
答案f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)为多项式函数，从而它在任意区间[a，b][*](－∞，＋∞)上都连续，且在(a，b)内可导．易知f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝0． f(x)在[0，1]，[1，2]，[2，3]上都满足罗尔中值定理的条件，因此分别存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，ξ3∈(2，3)使得f’(ξ1)＝0，f’(ξ2)＝0，f’(ξ3)＝0，即f’(x)＝0至少有三个实根ξi(i＝1，2，3)． 又，易见f(x)是三次多项式，从而f’(x)＝0至多也只有三个不同的实根，而ξ1＜ξ2＜ξ3．综上所述．f’(x)＝0恰有三个实根，它们分别位于三个不同的区间：(0，1)，(1，2)，(2，3)．
解析
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