设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫abf(t)dt|x-t|φ(t)dt的图形在(a，b)内 ( )

admin2015-07-22 74

问题设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫_a^bf(t)dt|x-t|φ(t)dt的图形在(a，b)内 ( )

选项 A、为凸
B、为凹
C、有拐点
D、有间断点

答案B

解析先将Ф(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有
Ф(x)=∫_a^x(x一t)φ(t)dt+∫_x^b(t一x)φ(t)dt=x∫_a^xφ(t)dt—∫_a^xtφ(t)dt+∫_x^b tφ(t)dt一x∫_x^b φ(t)dt．
因为φ(t)在[a，b]上连续，所以Ф(x)可导，因而答案不可能是(D)．为讨论其余三个选项，只需求出Ф"(x)，讨论Ф"(x)在(a，b)内的符号即可．因
Ф’(x)=∫_a^xφ(t)dt一∫_x^bφ(x)dt，
Ф"(x)=2φ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=Ф(x)的图形为凹，应选(B)．

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