设函数f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)≠0(x∈(0,1)),证明:

admin2014-02-06  32

问题 设函数f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)≠0(x∈(0,1)),证明:

选项

答案由题设可知|f(x)|存[0,1]上连续,根据有界闭区间上连续函数最值定理,存在x0∈(0,1),使得[*]在[0,x0]与[x0,1]上分别应用拉格朗日中值定理得:存在ξ1∈(0,x0),ξ2∈(x0,1)使得[*]于是[*]令y=x(1一x),则y=1—2x,由y=0得[*],又y’’=一2,所以y=x(1一x)在[*]处取最大值[*].因而[*]在[*]处取最小值,因此[*]

解析
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