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设函数f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)≠0(x∈(0,1)),证明:
设函数f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)≠0(x∈(0,1)),证明:
admin
2014-02-06
32
问题
设函数f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)≠0(x∈(0,1)),证明:
选项
答案
由题设可知|f(x)|存[0,1]上连续,根据有界闭区间上连续函数最值定理,存在x
0
∈(0,1),使得[*]在[0,x
0
]与[x
0
,1]上分别应用拉格朗日中值定理得:存在ξ
1
∈(0,x
0
),ξ
2
∈(x
0
,1)使得[*]于是[*]令y=x(1一x),则y
’
=1—2x,由y
’
=0得[*],又y
’’
=一2,所以y=x(1一x)在[*]处取最大值[*].因而[*]在[*]处取最小值,因此[*]
解析
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0
考研数学三
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