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每个线性规划问题需要在有限个线性约束条件下，求解线性目标函数F何处能达到极值。有限个线性约束条件所形成的区域(可行解区域)，由于其边界比较简单(逐片平直)，人们常称其为单纯形区域。单纯形区域D可能有界，也可能无界，但必是凸集(该区域中任取两点，则连接这两点

admin2018-04-25  46
问题 每个线性规划问题需要在有限个线性约束条件下，求解线性目标函数F何处能达到极值。有限个线性约束条件所形成的区域(可行解区域)，由于其边界比较简单(逐片平直)，人们常称其为单纯形区域。单纯形区域D可能有界，也可能无界，但必是凸集(该区域中任取两点，则连接这两点的线段全在该区域内)，必有有限个顶点。　　　　以下关于线性规划问题的叙述中，不正确的是(63)。
选项 A、若D有界，则F必能在D的某个顶点下达到极值
B、若F在D中A、B点上都达到极值，则在AB线段上也都能达到极值
C、若D有界，则该线性规划问题一定有一个或无穷多个最优解
D、若D无界，则该线性规划问题没有最优解
答案D
解析 本题旨在从宏观上理解线性规划方法的原理与机制，特别是从二维、三维的直观理解推广到高维的理解。这种宏观的、直观的理解对于深刻认识数学概念、方法是非常重要的，对于创新也会有重要的、奇特的启发作用。
   很明显，有界区域内线性函数的值域肯定是有界的。从直观上可以理解，由于线性函数的平坦性，其极值一定会在边界上达到(许多教材上给出了严格证明)。直观的理解有助于形象地感悟某些理论研究的结论。由于单纯形区域的边界是逐片平直的，它对应的线性目标函数值域也会是逐片平直的，人们可以想象，线性函数F会在D区域的顶点处达到极值。所以选项A是正确的。
   由于单纯形区域是凸集，只要A、B两点在区域内，则线段AB全在该区域内。由于F(A)与F(B)在线性目标函数值域上，不难看出，线段AB中的任一点C对应的 F(C)就会落在F(A)与F(B)的连线上。所以选项B也是正确的。
   选项C可以从选项A与B导出。线性规划问题要么无解，要么只有唯一的最优解，要么会有无穷多个最优解。因为如果有两个最优解，则这两个解的连线段上所有的解都是最优解。所以选项C也是正确的。
   选项D不正确。若区域D无界，则线性规划问题可能无解，也可能有解(唯一解或无穷多个解)。
   例如，线性规划问题：
   MAn Z=X+Y    s.t. X≥0,Y≥0
   的可行解区域是无界的，但在X=0，Y=0时有唯一的最优解(极小值)Z=0。
   又例如，线性规划问题：
   Max Z=2X
   s.t. X≤4，X≥0，Y≥0
   的可行解区域是无界的，但在X=4，Y≥0处有无穷多个最优解(极大值)Z=8。
   线性规划问题：
   Max Z=X+Y
   s.t. X≤4，X≥0，Y≥0
   的可行解区域是无界的，不存在最优解。
   在坚实的理论基础上，直观、形象、宏观地看问题不仅能深刻理解问题的实质，有时还能启发新的思路，创立新的问题求解方法。
   例如，用单纯形方法求解线性规划问题的过程，实际上就是在单纯形区域D的边界上先选一个初始顶点，再通过迭代计算，沿着D的边界逐个顶点行进，直到达到最优解的那个顶点为止。
   在企业实际应用中，一般会有大量的变量，区域D的顶点也很多，这种方法的计算量足很大的。
   从直观上看，从区域D的一个顶点出发，沿D的边界前进直到最优解顶点，一般都是绕弯的。人们会想到，应该有更捷径的路，而这条路可能是从区域D内穿越过去的。从区域D的一个点出发，沿什么方向走会使线性函数值F增长最快(或下降最快)呢?显然，应该沿函数F的梯度方向(或负梯度方向)前进，直到区域D的边界，会有更好的效果。据此，我们认为，可以获得比单纯形法更快的迭代求解方法。当然，单有直观思维是不够的，还需要在这种思维的指导F，去寻求实际可行的求解方法。现在，也确实有人按这种思路获得了新的解法。
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