案例：已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．上面的函数题为某教师在课堂教学时设置的课堂练习题，回答下列问题： (1)请对本道函数题进行分析． (2)如果你是

admin2015-11-17 73

问题案例：
已知函数f(x)=

,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
上面的函数题为某教师在课堂教学时设置的课堂练习题，回答下列问题：
(1)请对本道函数题进行分析．
(2)如果你是这位教师，你将如何讲解这道题?

选项

答案(1)本题是一个分段函数填空题，分段函数一般都有较真实的生活背景，是新课程加强数学应用的重要体现，是高中数学中的重要函数模型，也是高考中的常考题型之一，应该要求学生具备熟练解决分段函数类问题的能力．求f(x)=k有两个不同实根时后的取值范围，看似研究方程，实则是考查学生对函数方法的掌握程度，即通过对f(x)的图象分布和值域的探究为载体，考查学生对反比例函数、三次函数等基本函数的图象及其平移变换以及分类思想的把握，最终采用以形助数的方法得到k的范围．(2)如果让我讲解这道题，我会引导学生画出f(x)的图象，利用函数图象来解这道题．指出作反比例函数图象要利用好渐近线，作三次函数的图象时要利用y=x³的图象作为基本模型，然后利用平移实现快速准确作出y=(x一1)³的图象，最后提醒学生要注意对分段函数的分界点的利用．根据图象求解答案时，要看学生对端点和边界的把握情况，必要时做出强调．在黑板上画出函数f(x)图象并写出准确答案，即k的取值范围是(0，1)．也可直接利用方程来解本题，完整解法如下：当x≥2时，[*]≥2，于是0＜k≤1；当x＜2时，由(x一1)³=k也只可能有唯一根x=[*]+1＜2，于是k＜1，综合起来，要想使f(x)=k有两个不同的实根，则0＜k＜1．

解析

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