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设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1).证明:存在ξ∈(0,1),使得 2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1).证明:存在ξ∈(0,1),使得 2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+
admin
2014-12-17
67
问题
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1).证明:存在ξ∈(0,1),使得 2∫
0
1
f(x)dx=f(0)+f(1)+
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则F(x)三阶连续可导且F’(x)=f(x),由泰勒公式得 [*] 因为f"(x)∈C[ξ
1
,ξ
2
],所以f"(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上取到最大值M和最小值m,于是2m≤f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)≤2M或[*]由介值定理,存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](0,1),使得f"(ξ)=[*]故有2∫
0
1
f(x)dx=f(0)+f(1)+[*]
解析
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0
考研数学三
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