2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得 2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+

设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得 2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+

admin2014-12-17  82
问题 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得    2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，则F(x)三阶连续可导且F’(x)=f(x)，由泰勒公式得 [*] 因为f"(x)∈C[ξ1，ξ2]，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上取到最大值M和最小值m，于是2m≤f"(ξ1)+f"(ξ2)≤2M或[*]由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](0，1)，使得f"(ξ)=[*]故有2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+[*]
解析
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考研数学三

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