设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得 2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+

admin2014-12-17 62

问题设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得 2∫₀¹f(x)dx=f(0)+f(1)+

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt，则F(x)三阶连续可导且F’(x)=f(x)，由泰勒公式得 [*] 因为f"(x)∈C[ξ₁，ξ₂]，所以f"(x)在[ξ₁，ξ₂]上取到最大值M和最小值m，于是2m≤f"(ξ₁)+f"(ξ₂)≤2M或[*]由介值定理，存在ξ∈[ξ₁，ξ₂][*](0，1)，使得f"(ξ)=[*]故有2∫₀¹f(x)dx=f(0)+f(1)+[*]

解析

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考研数学三

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