设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠O，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3．证明：向量组α1，α2，α3线性无关．

admin2016-05-17 54

问题设A是三阶矩阵，α₁，α₂，α₃为三维列向量且α₁≠O，若Aα₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₃=α₂+α₃．
证明：向量组α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案由Aα₁=α₁得(A—E)α₁=0，由Aα₂=α₁+α₂得(A—E)α₂=α₁，由Aα₃=α₂+α₃得(A—E)α₃=α₂．令 k₁α₁+ k₂α₂+ k₃α₃=0 1) 两边左乘以(A—E)得 k₂α₁+ k₃α₂=0 2) 两边再左乘(A－E)得 k₃α₁=0，由α₁≠0得 k₃=0，代入2)得 k₂α₁=0，则 k₂=0，再代入1)得 k₁α₁=0，从而 k₁=0，于是α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学二

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