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设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三个三维线性无关的列向量,且满足Aα1=α2+α3,Aα2=α1+α3,Aα3=α1+α2. (1)求矩阵A的特征值; (2)判断矩阵A可否对角化.
设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三个三维线性无关的列向量,且满足Aα1=α2+α3,Aα2=α1+α3,Aα3=α1+α2. (1)求矩阵A的特征值; (2)判断矩阵A可否对角化.
admin
2015-07-10
45
问题
设A是三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
为三个三维线性无关的列向量,且满足Aα
1
=α
2
+α
3
,Aα
2
=α
1
+α
3
,Aα
3
=α
1
+α
2
.
(1)求矩阵A的特征值;
(2)判断矩阵A可否对角化.
选项
答案
(1)因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以α
1
+α
2
+α
3
≠0, 由A(α
1
+α
2
+α
3
)=2(α
1
+α
2
+α
3
),得A的一个特征值为λ
1
=2; 又由A(α
1
-α
2
)=一(α
1
-α
2
),A(α
2
-α
3
)=一(α
2
-α
3
),得A的另一个特征值为λ
2
=一1.因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以α
1
-α
2
与α
2
-α
3
也线性无关,所以λ
2
=一1为矩阵A的二重特征值,即A的特征值为2,一1,一1. (2)因为α
1
-α
2
,α
2
-α
3
为属于二重特征值一1的两个线性无关的特征向量,所以A一定可以对角化.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BkU4777K
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考研数学三
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