设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)一f(t)dt=0． (1)求f’(x)；(2)证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1．

admin2015-07-10 52

问题设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)一

f(t)dt=0．
(1)求f’(x)；(2)证明：当x≥0时，e^-x≤f(x)≤1．

选项

答案(1)(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫₀^xf(t)dt=0，两边求导数，得 (x+1)f"(x)=一(x+2)f’(x)→f’(x)=[*]．再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=一1，所以C=一1，于是f’(x)=[*]． (2)当x≥0时，因为f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1． [*]

解析

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考研数学三

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