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  3. 求微分方程 y″一3y′一4y＝(10x一7)e－x＋34sinx 的通解．

求微分方程 y″一3y′一4y＝(10x一7)e－x＋34sinx 的通解．

admin2016-01-25  23
问题 求微分方程
y″一3y′一4y＝(10x一7)e－x＋34sinx
的通解．
选项
答案齐次方程y″一3y′一4y＝0的特征方程为 λ2一3λ一4＝0， 由此求得特征根λ1＝4，λ2＝一1．对应齐次方程的通解为 Y＝C1e4x＋C2e－x． 则f1(x)＝(10x一7)e－x的特解形式为 y1*＝x(A＋Bx)e－x＝(Ax＋Bx2)e－x， f2(x)＝34sinx 的特解形式为 y2*＝Csinx＋Dcosx。 于是由叠加原理知，非齐次方程的特解为 y*＝y1*＋y2*＝(Ax＋Bx2)e－x＋Csinx＋Dcosx， 则 (y*)′＝(A＋2Bx—Ax一Bx2)e－x＋Ccosx－Dsinx， (y*)″＝(2B一2A一4Bx＋Ax＋Bx2)e－x一Ccosx—Dsinx， 代入原方程，求得A＝1，B＝一1，C＝一5，D＝3，从而 y*＝x(1一x)e－x一5sinx＋3cosx． 于是原方程的通解为 y＝Y＋y*＝C1A4x＋(C2＋x－x2)e－x一5sinx＋3cosx．
解析 利用二阶非齐次线性方程解的叠加原理求之．
设y1*(x)与y2*(x)分别是方程
    y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f1(x)
与   y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f2(x)
的特解，则
   y*(x)＝y1*(x)＋y2*(x)
是方程
   y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f1(x)＋f2(x)
的特解．
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考研数学三

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