求微分方程 y″一3y′一4y＝(10x一7)e－x＋34sinx 的通解．

admin2016-01-25 38

问题求微分方程
y″一3y′一4y＝(10x一7)e^－x＋34sinx
的通解．

选项

答案齐次方程y″一3y′一4y＝0的特征方程为 λ²一3λ一4＝0，由此求得特征根λ¹＝4，λ²＝一1．对应齐次方程的通解为 Y＝C₁e^4x＋C₂e^－x．则f₁(x)＝(10x一7)e_－x的特解形式为 y₁^*＝x(A＋Bx)e^－x＝(Ax＋Bx²)e^－x， f₂(x)＝34sinx 的特解形式为 y₂^*＝Csinx＋Dcosx。于是由叠加原理知，非齐次方程的特解为 y^*＝y₁^*＋y₂^*＝(Ax＋Bx²)e^－x＋Csinx＋Dcosx，则 (y^*)′＝(A＋2Bx—Ax一Bx²)e^－x＋Ccosx－Dsinx， (y^*)″＝(2B一2A一4Bx＋Ax＋Bx²)e^－x一Ccosx—Dsinx，代入原方程，求得A＝1，B＝一1，C＝一5，D＝3，从而 y^*＝x(1一x)e^－x一5sinx＋3cosx．于是原方程的通解为 y＝Y＋y^*＝C₁A^4x＋(C₂＋x－x²)e^－x一5sinx＋3cosx．

解析利用二阶非齐次线性方程解的叠加原理求之．
设y₁^*(x)与y₂^*(x)分别是方程
y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f₁(x)
与 y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f₂(x)
的特解，则
y^*(x)＝y₁^*(x)＋y₂^*(x)
是方程
y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f₁(x)＋f₂(x)
的特解．

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考研数学三

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