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求微分方程 y″一3y′一4y＝(10x一7)e－x＋34sinx 的通解．
求微分方程 y″一3y′一4y＝(10x一7)e－x＋34sinx 的通解．
admin
2016-01-25
70
问题
求微分方程
y″一3y′一4y＝(10x一7)e
－x
＋34sinx
的通解．
选项
答案
齐次方程y″一3y′一4y＝0的特征方程为 λ
2
一3λ一4＝0， 由此求得特征根λ
1
＝4，λ
2
＝一1．对应齐次方程的通解为 Y＝C
1
e
4x
＋C
2
e
－x
． 则f
1
(x)＝(10x一7)e
－x
的特解形式为 y
1
*
＝x(A＋Bx)e
－x
＝(Ax＋Bx
2
)e
－x
， f
2
(x)＝34sinx 的特解形式为 y
2
*
＝Csinx＋Dcosx。 于是由叠加原理知，非齐次方程的特解为 y
*
＝y
1
*
＋y
2
*
＝(Ax＋Bx
2
)e
－x
＋Csinx＋Dcosx， 则 (y
*
)′＝(A＋2Bx—Ax一Bx
2
)e
－x
＋Ccosx－Dsinx， (y
*
)″＝(2B一2A一4Bx＋Ax＋Bx
2
)e
－x
一Ccosx—Dsinx， 代入原方程，求得A＝1，B＝一1，C＝一5，D＝3，从而 y
*
＝x(1一x)e
－x
一5sinx＋3cosx． 于是原方程的通解为 y＝Y＋y
*
＝C
1
A
4x
＋(C
2
＋x－x
2
)e
－x
一5sinx＋3cosx．
解析
利用二阶非齐次线性方程解的叠加原理求之．
设y
1
*
(x)与y
2
*
(x)分别是方程
y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f
1
(x)
与 y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f
2
(x)
的特解，则
y
*
(x)＝y
1
*
(x)＋y
2
*
(x)
是方程
y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f
1
(x)＋f
2
(x)
的特解．
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考研数学三
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