设f(χ)在[0,1]上可导,且满足f(1)=,证明:必有一点ξ∈(0,1),使得ξf′(ξ)+f(ξ)=0。

admin2014-10-30  32

问题 设f(χ)在[0,1]上可导,且满足f(1)=,证明:必有一点ξ∈(0,1),使得ξf′(ξ)+f(ξ)=0。

选项

答案证明:设F(χ)=χf(χ),显然F(χ)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(1)=f(1)=∫01χf(χ)dχ=∫01F(χ)dχ=F(η),η∈(0,1),由罗尔定理,至少存在一点ξ∈(η,1)[*](0,1),使得F′(ξ)=0,又因为F′(χ)=χf′(χ)+f(χ),故ξf′(ξ)+f(ξ)=0,命题得证.

解析
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