设f(χ)在[0，1]上可导，且满足f(1)＝，证明：必有一点ξ∈(0，1)，使得ξf′(ξ)＋f(ξ)＝0。

admin2014-10-30 67

问题设f(χ)在[0，1]上可导，且满足f(1)＝

，证明：必有一点ξ∈(0，1)，使得ξf′(ξ)＋f(ξ)＝0。

选项

答案证明：设F(χ)＝χf(χ)，显然F(χ)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(1)＝f(1)＝∫₀¹χf(χ)dχ＝∫₀¹F(χ)dχ＝F(η)，η∈(0，1)，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(η，1)[*](0，1)，使得F′(ξ)＝0，又因为F′(χ)＝χf′(χ)＋f(χ)，故ξf′(ξ)＋f(ξ)＝0，命题得证．

解析

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