设函数f(x)对于闭区间[a，b]上的任意两点x，y，恒有｜f(x)－f(y)｜≤L｜x－y｜，其中L为正的常数，且f(a)·f(b)＜0．证明：至少有一点ε∈(a，b)，使得f(ε)＝0．

admin2011-11-19 107

问题设函数f(x)对于闭区间[a，b]上的任意两点x，y，恒有｜f(x)－f(y)｜≤L｜x－y｜，其中L为正的常数，且f(a)·f(b)＜0．证明：至少有一点ε∈(a，b)，使得f(ε)＝0．

选项

答案【证】首先证明函数是连续函数．设x。是(a，b)内任意一点，x∈(a，b)，则 0≤｜f(x)－f(x。)｜≤L ｜x－x。｜，从而[*]，即函数f(x)在(a，b)内连续；类似可证f(x)在闭区间[a，b]端点连续，所以f(x)在闭区间[a，b]上连续．又f(a)×f(b)＜0，由零点定理可知：至少有一点ε∈(a，b)，使得f(ε)＝0．

解析

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考研数学三

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