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  3. 设 有3个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件。

设 有3个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件。

admin2015-09-14  19
问题 设

有3个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件。
选项
答案由A的特征方程 [*] 得A的全部特征值为λ1=λ2=1，λ3=一1． 因为不同特征值所对应的特征向量线性无关，且对应于单特征值λ3=一1有且仅有一个线性无关的特征向量，故A有3个线性无关的特征向量[*]对应于2重特征值λ1=λ2一1必须有2个线性无关的特征向量[*]齐次方程组(E一A)x=0的基础解系含2个向量[*]3一r(E一A)一2[*]r(E一A)=1．矩阵 [*] 的秩必须等于1，故 [*] 于是得x+y=0，而且当x+y=0时，E+A的秩的确为1，故x和y应满足条件x+y=0．
解析 本题主要考查特征值和特征向量的性质及齐次方程组的基础解系的理论。注意，对于n阶方阵A，当A有n个互不相同特征值时，A必有n个线性无关的特征向量；当A有重特征值时，A有n个线性无关的特征向量对应于A的每个特征值的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，这其实也是n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件。
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考研数学三

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