设A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且 (Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量。 (Ⅱ)求矩阵A。

admin2015-09-14  28

问题 设A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且

(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量。
(Ⅱ)求矩阵A。

选项

答案(Ⅰ)由于A的秩为2,故0是A的一个特征值。由题设可得 [*] 所以,一1是A的一个特征值,且属于一1的特征向量为k1(1,0,一1)T,k1为任意非零常数;1也是A的一个特征值,且属于1的特征向量为k2(1,0,1)T,k2为任意非零常数。 设x=(x1,x2,x3)T为A的属于0的特征向量,由于A为实对称矩阵,A的属于不同特征值的特征向量相互正交,则 [*] 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0,1,0)T,于是属于0的特征向量为k3(0,1,0)T,其中k3为任意非零常数。 [*]

解析 本题综合考查矩阵分块乘法、特征值与特征向量、逆矩阵、方阵的相似对角化等基本知识及其应用。注意,对本题(Ⅱ)中齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换,得

由此得一般解

这时应注意虽然未出现x2,但x2为自由未知量(因系数矩阵的秩为2,而x1,x2的系数构成2阶非零子式,故选x1,x2为约束未知量,于是x2为自由未知量。这又用到了“当齐次线性方程组有非零解时,先要选取约束未知量,而当约束未知量一旦选定,则其余未知量自然就是自由未知量”这一原则),令x2=1,则得基础解系为(0,1,0)T
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