设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且 (Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量。 (Ⅱ)求矩阵A。

admin2015-09-14 74

问题设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且

(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量。
(Ⅱ)求矩阵A。

选项

答案(Ⅰ)由于A的秩为2，故0是A的一个特征值。由题设可得 [*] 所以，一1是A的一个特征值，且属于一1的特征向量为k₁(1，0，一1)^T，k₁为任意非零常数；1也是A的一个特征值，且属于1的特征向量为k₂(1，0，1)^T，k₂为任意非零常数。设x=(x₁，x₂，x₃)^T为A的属于0的特征向量，由于A为实对称矩阵，A的属于不同特征值的特征向量相互正交，则 [*] 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0)^T，于是属于0的特征向量为k₃(0，1，0)^T，其中k₃为任意非零常数。 [*]

解析本题综合考查矩阵分块乘法、特征值与特征向量、逆矩阵、方阵的相似对角化等基本知识及其应用。注意，对本题(Ⅱ)中齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，得

由此得一般解

这时应注意虽然未出现x₂，但x₂为自由未知量(因系数矩阵的秩为2，而x₁，x₂的系数构成2阶非零子式，故选x₁，x₂为约束未知量，于是x₂为自由未知量。这又用到了“当齐次线性方程组有非零解时，先要选取约束未知量，而当约束未知量一旦选定，则其余未知量自然就是自由未知量”这一原则)，令x₂=1，则得基础解系为(0，1，0)^T。

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考研数学三

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