证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

admin2018-03-30 64

问题证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

选项

答案设f(x)是连续的奇函数，F(x)=∫₀^xf(t)dt+C是f(x)的所有原函数，而F(－x)=∫₀^－xf(t)dt+C，令t=－u，则 F(－x)=∫₀^－xf(t)dt=∫₀^xf(－u)d(－u)+C=－f(u)du+C=∫₀^xf(u)du+C=F(x)，所以F(x)是偶函数。即连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数。若f(x)是连续的偶函数，F(x)=∫₀^xf(t)dt+C是f(x)的所有原函数，有 F(－x)=∫₀^－xf(t)dt=∫₀^xf(－u)d(－u)+C=－∫₀^xf(u)du+C=－F(x)+C，于是，只有当C=O时才有F(－x)=－F(－x)。即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

解析

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