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  3. 证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

admin2018-03-30  46
问题 证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。
选项
答案设f(x)是连续的奇函数，F(x)=∫0xf(t)dt+C是f(x)的所有原函数， 而F(－x)=∫0－xf(t)dt+C，令t=－u，则 F(－x)=∫0－xf(t)dt=∫0xf(－u)d(－u)+C=－f(u)du+C=∫0xf(u)du+C=F(x)， 所以F(x)是偶函数。即连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数。 若f(x)是连续的偶函数，F(x)=∫0xf(t)dt+C是f(x)的所有原函数，有 F(－x)=∫0－xf(t)dt=∫0xf(－u)d(－u)+C=－∫0xf(u)du+C=－F(x)+C， 于是，只有当C=O时才有F(－x)=－F(－x)。即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。
解析
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