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  3. 设随机变量X的分布函数为F(x)=0.4Ф(x/2+1)+0.6Ф(x+2)，则D(x)=( )．

设随机变量X的分布函数为F(x)=0.4Ф(x/2+1)+0.6Ф(x+2)，则D(x)=( )．

admin2022-12-09  30
问题 设随机变量X的分布函数为F(x)=0.4Ф(x/2+1)+0.6Ф(x+2)，则D(x)=(          )．
选项 A、1.1
B、2.2
C、2
D、4
答案B
解析 随机变量X的密度函数为f(x)=0.2φ(x/2+1)+0.6φ(x+2)，
E(X)=∫-∞+∞xf(x)dx=0.2∫-∞+∞xφ(x/2+1)+0.6∫-∞+∞xφ(x+2)dx
=0.8∫-∞+∞[(x/2+1)-1]φ(x/2+1)d(x/2+1)+0.6∫-∞+∞[(x+2)-2]φ(x+2)d(x+2)
=0.8∫-∞+∞(x-1)φ(x)dx+0.6∫-∞+∞(x-2)φ(x)dx
=-0.8∫-∞+∞φ(x)dx-1.2∫-∞+∞φ(x)dx=-2；
E(X2)=∫-∞+∞f(x)dx=0.2∫-∞+∞x2φ(x/2+1)dx+0.6∫-∞+∞x2φ(x+2)dx
=1.6∫-∞+∞[(x/2+1)-1]2φ(x/2+1)d(x/2+1)+0.6∫-∞+∞[(x+2)-2]2φ(x+2)d(x+2)
=1.6∫-∞+∞(x-1)2φ(x)dx+0.6∫-∞+∞(x-2)2φ(x)dx
=1.6∫-∞+∞(x2+1)φ(x)dx+0.6∫-∞+∞(x2+4)φ(x)dx=2.2∫-∞+∞x2φ(x)dx+4

故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.2，应选(B)．
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考研数学三

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