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若矩阵 相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P-1AP=A.
若矩阵 相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P-1AP=A.
admin
2013-03-29
91
问题
若矩阵
相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P
-1
AP=A.
选项
答案
矩阵A的特征多项式 [*]=(λ-6)
2
(λ+2), 得知A的特征值为λ
1
=λ
2
=6,λ
3
=-2. 由于A相似于对角矩阵A,而λ=6是二重特征值,故λ=6应有两个线性无关的特征向量,因此矩 阵6E-A的秩必为1.从而由 [*] 当λ=6时,由(6E-A)x=0,[*] 得到矩阵A属于特征值A=6的线性无关的特征向量为α
1
=(1,2,0)
T
,α
2
=(0,0,1)
T
当λ=-2时,由(-2E-A)x=0, -2E-A=[*] 得到属于特征值λ=-2的特征向量为α
3
=(1,-2,0)
T
. 那么,令P=(α
1
,α
2
,α
3
)=[*],则P
-1
AP=A=[*]
解析
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考研数学三
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