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求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.
求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.
admin
2019-06-30
79
问题
求二元函数z=f(x,y)=x
2
y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.
选项
答案
注意f(x,y)在区域D上的极值点限定在区域D的内部,而最大(小)值点可以在区域D的边界上取得.因此求f(x,y)在区域D上的极值点可按无条件极值方法处理,但是必须限定所考虑的驻点在给定的区域内.而考虑最大(小)值点与最大(小)值时还应该考虑f(x,y)在区域D的边界上的极值问题,这属于条件极值问题. 先依无条件极值方法求f(x,y)在区域D内的极值:由于z=f(x,y)=x
2
y(4-x-y), 求解 [*] 由于区域D的边界曲线为x=0;y=0;x+y=6,可知仅点(2,1)在区域D内,应舍掉(0,y)与(4,0). 由于 [*] A=(8y-6xy-2y
2
)|
(2,1)
=-6<0, B=(8x-x
2
-4xy)|
(2,1)
=-4, C=-2x
2
|
(2,1)
=-8. B
2
-AC=16-48=-32<0. 因此点(2,1)为极大值点,极大值为f(2,1)=4. 下面求f(x,y)在D上的最大值与最小值: (1)在D的边界曲线x=0(0≤y≤6)上,f(x,y)=0; (2)在D的边界曲线y=0(0≤x≤6)上,f(x,y)=0; (3)在D的边界曲线x+y=6上,一种方法是利用条件极值,构造拉格朗日函数 L(x,y,λ)=x
2
y(4-x-y)+λ(x+y-6), 求其极值.另一种方法是由x+y=6可解得y=6-x,将其代入f(x,y)可得 z=2x
3
-12x
2
(0≤x≤6). 显然后者简单,下面按一元函数求极大(小)值方法求之. 先求出z在(0,6)内的驻点,由于 z’=6x
2
-24x=6x(x-4). 令z’=0得x=4,x=0(舍掉),则 z"=12z-24=12(x-2), z"|
x=4
=24>0, 可知x=4为z的极小值点. 当x=4时,由x+y=6得知y=2.f(4,2)=-64为f(x,y)在 x+y=6(x>0,y>0) 上的极小值. 由于x=0或y=0时f(x,y)=0,可知f(x,y)在区域D的边界线上的最小值为 f(4,2)=-64, 比较上述运算结果可知f(x,y)在D上的最大值点为(2,1),最大值为 f(2,1)=4, 最小值点为(4,2),最小值为 f(4,2)=-64.
解析
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经济类联考综合能力题库专业硕士分类
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经济类联考综合能力
专业硕士
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