求解微分方程y"+y’=2x2+1.

admin2017-07-26  53

问题 求解微分方程y"+y’=2x2+1.

选项

答案利用线性微分方程的通解的结构求解. 先求齐次微分方程y"+y’=0的通解[*]. 因为特征方程为λ2+λ=0,得λ1=0,λ2=一1.所以,齐次微分方程的通解为[*]=c1+c2e—x。 再求非齐次微分方程y"+y’=2x2+1的一个特解y*. 因为y"+y’=(2x2+1)e0x,其中r=0是特征方程为λ2+λ=0的单根,则设特解的形式为 y*=xQ2(x)=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx. 将y*代入到原微分方程中去,得 3ax2+(2b+ba)x+(2b+c)=2x2+1. 比较等式两端同类项的系数, [*] 其中c1,c2为任意常数.

解析 本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构.
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