设α1,α2,…,αm为一个向量组,且α1≠θ,每一个向量αi(i>1)都不能由α1,α2,…,αi-1线性表示,求证:α1,α2,…,αm线性无关.

admin2011-10-28  47

问题 设α1,α2,…,αm为一个向量组,且α1≠θ,每一个向量αi(i>1)都不能由α1,α2,…,αi-1线性表示,求证:α1,α2,…,αm线性无关.

选项

答案证明 用定义证明.假设存在一组数k1,k2,…,km使得 k1α1+k2α2+…+kmαm=θ, 若k1,k2,…,km全为零,显然α1,α2,…,αm线性无关;若k1,k2,…,km不全为零,对k1,k2,…,km从右向左看,设第一个不为零的数为ki,即ki≠0,ki+1=0,…,km=0,于是有k1α1+k2α2+…+kiαi=θ.若i=1,则k1α1=θ,从而α1=θ,与α1≠θ矛盾;若i≠1,则αi=-(1/ki)(k1α1+k2α2+…+ki-1αi-1),与每一个向量αi(i>1)都不能由α1,α2,…,αi-1线性表示矛盾,因此,k1,k2,…,km必须全为零,这说明α1,α2,…,αm线性无关.

解析
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