2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫axf(x)dt≥∫axg(x)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。 证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫axf(x)dt≥∫axg(x)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。 证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。

admin2018-01-30  58
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足
    ∫axf(x)dt≥∫axg(x)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。
  证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
选项
答案令F(x)=fx)—g(x)，G(x)=∫axF(t)dt，由题设G(x)≥10，x∈[a，b]，G(a)=G(b)=0，G’(x) =F(x)，从而， ∫abxF(x)dx=∫abxdG(x)=xG(x)｜ab—∫abG(x)dx=—∫abG(x)dx， 由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有一∫abG(x)dx≤0，即∫abxF(x)dx≤0。 因此 ∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
解析 本题考查微积分的基本原理以及定积分的性质。
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