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证明：若f，g均为区间I上凸函数，则F(x)=max{f(x)，g(x)}也是I上凸函数．
证明：若f，g均为区间I上凸函数，则F(x)=max{f(x)，g(x)}也是I上凸函数．
admin
2022-11-23
27
问题
证明：若f，g均为区间I上凸函数，则F(x)=max{f(x)，g(x)}也是I上凸函数．
选项
答案
∵f，g均为区间I上的凸函数，∴对任意的x
1
，x
2
∈I及λ∈(0，1)．总有 f(λx
1
+(1-λ)x
2
)≤λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)， ① g(λx
1
+(1-λ)x
2
)≤λg(x
1
)+(1-λ)g(x
2
)， ② 由于F(x)=max{f(x)，g(x)}，因而 f(x
1
)≤F(x
1
)，(x
2
)≤F(x
2
)，g(x
1
)≤F(x
1
)，g(x
2
)≤F(x
2
)， 于是 λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)≤λF(x
1
)f(1-λ)F(x
2
)． ③ λg(x
1
)+(1-λ)g(x
2
)≤λF(x
1
)f(1-λ)F(x
2
)． ④ 由式①～式④得 max{f(λx
1
+(1-λ)x
2
)．g(λx
1
+(1-λ)x
2
)}≤λF(x
1
)+(1-λ)F(x
2
)， 即F(λx
1
+(1-λ)x
2
)≤λF(x
1
)+(1-λ)F(x
2
)，故F(x)是I上的凸函数
解析
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考研数学三
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