设a＞0，使I=∫01|x2一a2|dx为最小的a为___________．

admin2015-08-28 6

问题设a＞0，使I=∫₀¹|x²一a²|dx为最小的a为___________．

选项

答案[*]

解析当0＜a＜1，0＜a²＜1
I=∫₀¹|x²一a²|dx=∫₀^a(a²-x²)dx+∫_a¹(x²一a²)dx

当a≥1时，a²≥1，
I=∫₀¹|x²-a²|dx=∫₀¹(a²一x²)dx=a²一

所以

当0＜a＜1时，I’(a)=4a²一2a

．得驻点

,I"(a)=8a一2，

当a＞1时，无驻点．当a=1时，I(a)连续，

所以I’(1)=2存在．
由上可见，

是唯一驻点，且为极小值点，所以为最小值点．

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