2. 考研
  3. 已知向量组(I)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4。

已知向量组(I)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4。

admin2022-06-08  18
问题 已知向量组(I)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4。
选项
答案要证α1，α2，α3,α5一α4的秩为4，只要证明α1，α2，α3，α5一α4线性无关即可。 因为r(I)=r(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，故存在数λ1，λ2， λ3，使 α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3 设存在一组数k1，k2，k3，k4，使得 k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5一α4)=0 将α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3代入上式有：(k1—λ1k4)α1+(k2-λ2k4)α2+(k3-λ3k4)α3+k4α5=0 由r(Ⅲ)=4，可知 [*] 解得：k1=k2=k3=k4=0，故α1，α2，α3，α5—α4线性无关 即向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4。
解析
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经济类联考综合能力

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