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已知向量组(I)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4。
已知向量组(I)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4。
admin
2022-06-08
19
问题
已知向量组(I)α
1
，α
2
，α
3
；(Ⅱ)α
1
，α
2
，α
3
，α
4
；(Ⅲ)α
1
，α
2
，α
3
，α
5
，如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明：向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
5
一α
4
的秩为4。
选项
答案
要证α
1
，α
2
，α
3
,α
5
一α
4
的秩为4，只要证明α
1
，α
2
，α
3
，α
5
一α
4
线性无关即可。 因为r(I)=r(Ⅱ)=3，所以α
1
，α
2
，α
3
线性无关，而α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关，故存在数λ
1
，λ
2
， λ
3
，使 α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
设存在一组数k
1
，k
2
，k
3
，k
4
，使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
(α
5
一α
4
)=0 将α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
代入上式有：(k
1
—λ
1
k
4
)α
1
+(k
2
-λ
2
k
4
)α
2
+(k
3
-λ
3
k
4
)α
3
+k
4
α
5
=0 由r(Ⅲ)=4，可知 [*] 解得：k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0，故α
1
，α
2
，α
3
，α
5
—α
4
线性无关 即向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
5
一α
4
的秩为4。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FsSa777K
本试题收录于：
经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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