在直角三角形ABC中，斜边c=5，直角边a，b是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，则三角形ABC的面积为( )．

admin2022-12-05 78

问题在直角三角形ABC中，斜边c=5，直角边a，b是方程x²-(2k+3)x+k²+3k+2=0的两个实数根，则三角形ABC的面积为( )．

选项 A、5
B、6
C、7
D、8
E、9

答案B

解析韦达定理问题
  由韦达定理得：①a+b=2k+3，②ab=k²+3k+2．
  在直角三角形ABC中，利用勾股定理得a²+b²=c²=25，即(a+b)²-2ab=25，将①②代入该式得(2k+3)²-2(k²+3k+2)=25，解得k=2或-5．
  当k=-5时，方程为x²+7x+12=0，此时△=49-48＞0，计算结果为x₁=-3，x₂=-4，与a，b是三角形的直角边不符，应舍去，所以k只能为2．
  故三角形ABC的面积

．