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  3. 求球面x2+y2+z2=9／4与椭球面3x2+(y-1)2+z2=17／4交线上对应于x=1的点处的切线方程与法平面方程．

求球面x2+y2+z2=9／4与椭球面3x2+(y-1)2+z2=17／4交线上对应于x=1的点处的切线方程与法平面方程．

admin2023-03-22  43
问题 求球面x2+y2+z2=9／4与椭球面3x2+(y-1)2+z2=17／4交线上对应于x=1的点处的切线方程与法平面方程．
选项
答案先求出曲线上对应于x=1的点的坐标P1(1，1／2，1)和P2(1，1／2，-1)，令F(x，y，z)=x2+y2+z2-[*]，G(x，y，z)=3x2+(y-1)2+z2-[*] 解法1 由方程组[*]确定了两个隐函数y=y(x)，z=z(x)．以x为参数可设交线的参数方程为[*]在方程组[*]的两端对x求导，得 [*] 代入点P1(1，1／2，1)的坐标，得dy／dx=2，dz／dx=-2．过点P1(1，1／2，1)的切线方程为[*]法平面方程为x+2y-2z=0．代入点P2(1，1／2，-1)的坐标，得dx／dy=2，dz／dx=2．过点P2(1，1／2，-1)的切线方程为[*]，法平面方程为x+2y+2z=0． 解法2 交线方程为[*]，从而 [*] 将P1(1，1／2，1)代入，求得曲线在该点切向量为(4，8，-8)，所以过点P1(1，1／2，1)的切线方程为 [*] 法平面方程为 x+2y-2z=0； 将P2(1，1／2，-1)代入，求得曲线在该点切向量为(-4，-8，-8)，所以过点P2(1，1／2，-1)的切线方程为 [*] 法平面方程为 x+2y+2z=0．
解析
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考研数学三

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