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求球面x2+y2+z2=9/4与椭球面3x2+(y-1)2+z2=17/4交线上对应于x=1的点处的切线方程与法平面方程.
求球面x2+y2+z2=9/4与椭球面3x2+(y-1)2+z2=17/4交线上对应于x=1的点处的切线方程与法平面方程.
admin
2023-03-22
53
问题
求球面x
2
+y
2
+z
2
=9/4与椭球面3x
2
+(y-1)
2
+z
2
=17/4交线上对应于x=1的点处的切线方程与法平面方程.
选项
答案
先求出曲线上对应于x=1的点的坐标P
1
(1,1/2,1)和P
2
(1,1/2,-1),令F(x,y,z)=x
2
+y
2
+z
2
-[*],G(x,y,z)=3x
2
+(y-1)
2
+z
2
-[*] 解法1 由方程组[*]确定了两个隐函数y=y(x),z=z(x).以x为参数可设交线的参数方程为[*]在方程组[*]的两端对x求导,得 [*] 代入点P
1
(1,1/2,1)的坐标,得dy/dx=2,dz/dx=-2.过点P
1
(1,1/2,1)的切线方程为[*]法平面方程为x+2y-2z=0.代入点P
2
(1,1/2,-1)的坐标,得dx/dy=2,dz/dx=2.过点P
2
(1,1/2,-1)的切线方程为[*],法平面方程为x+2y+2z=0. 解法2 交线方程为[*],从而 [*] 将P
1
(1,1/2,1)代入,求得曲线在该点切向量为(4,8,-8),所以过点P
1
(1,1/2,1)的切线方程为 [*] 法平面方程为 x+2y-2z=0; 将P
2
(1,1/2,-1)代入,求得曲线在该点切向量为(-4,-8,-8),所以过点P
2
(1,1/2,-1)的切线方程为 [*] 法平面方程为 x+2y+2z=0.
解析
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考研数学三
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