设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=一1，已知曲线积分 ∫L[xe2x-6f(x)]sin ydx一[5f(x)-f’(x)]cos ydy 与积分路径无关，求f(x)．

admin2017-12-23 60

问题设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=一1，已知曲线积分
∫_L[xe^2x-6f(x)]sin ydx一[5f(x)-f’(x)]cos ydy
与积分路径无关，求f(x)．

选项

答案设P=[xe^2x-6f(x)]sin y，Q=一[5f(x)-f’(x)]cos y 由题意[*]即 [xe^2x一6f(x)]cosy=一[5f’(x)-f”(x)]cos y，整理得f”(x)一5f’(x)+6f(x)=xe^2x，其对应的齐次方程的通解为Y=C₁e^2x+C₂e^3x．由于2是特征根，设特解形式为y*=x(Ax+B)e^2x．代入原方程得[*]．于是原方程通解为 [*] 由f(0)=0，f’(0)=-1，得C₁=C₂=0， [*]

解析

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考研数学二

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