2. 考研
  3. 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=一1，已知曲线积分 ∫L[xe2x-6f(x)]sin ydx一[5f(x)-f’(x)]cos ydy 与积分路径无关，求f(x)．

设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=一1，已知曲线积分 ∫L[xe2x-6f(x)]sin ydx一[5f(x)-f’(x)]cos ydy 与积分路径无关，求f(x)．

admin2017-12-23  109
问题 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=一1，已知曲线积分
    ∫L[xe2x-6f(x)]sin ydx一[5f(x)-f’(x)]cos ydy
与积分路径无关，求f(x)．
选项
答案设P=[xe2x-6f(x)]sin y，Q=一[5f(x)-f’(x)]cos y 由题意[*]即 [xe2x一6f(x)]cosy=一[5f’(x)-f”(x)]cos y， 整理得f”(x)一5f’(x)+6f(x)=xe2x，其对应的齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e3x． 由于2是特征根，设特解形式为y*=x(Ax+B)e2x． 代入原方程得[*]．于是原方程通解为 [*] 由f(0)=0，f’(0)=-1，得C1=C2=0， [*]
解析
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考研数学二

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