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设二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ(其中χ=(χ1,χ2,χ3)T,A是三阶实对称矩阵)经正交变换χ=Qy(其中y=(y1,y2,y3)T,Q是三阶正交矩阵)化为标准形2y12-y22-y32,又设A*α=α(其中A*是A的伴随矩阵,α=(1,1,-
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ(其中χ=(χ1,χ2,χ3)T,A是三阶实对称矩阵)经正交变换χ=Qy(其中y=(y1,y2,y3)T,Q是三阶正交矩阵)化为标准形2y12-y22-y32,又设A*α=α(其中A*是A的伴随矩阵,α=(1,1,-
admin
2016-03-16
56
问题
设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
T
Aχ(其中χ=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
,A是三阶实对称矩阵)经正交变换χ=Qy(其中y=(y
1
,y
2
,y
3
)
T
,Q是三阶正交矩阵)化为标准形2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
,又设A
*
α=α(其中A
*
是A的伴随矩阵,α=(1,1,-1)
T
).求
(Ⅰ)Q及A;
(Ⅱ)可逆线性变换χ=Cz(其中z=(z
1
,z
2
,z
3
)
T
,C是三阶可逆矩阵),它将f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)化为规范形.
选项
答案
(Ⅰ)A的特征值为2,-1,-1,|A|=2. 当λ=2时,A
*
的特征值为1, 故λ=2所对应的特征向量为(1,1-1)
T
. 设λ=-1对应的特征向量为(a,b,c), 即a+b-c=0, 其解为 α
1
=(-1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
, 对其正交化 β
1
=(-1,1,0)
T
,β
2
=(1,1,2)
T
, 再单位化 [*] 于是所求的正交矩阵为 [*] (Ⅱ)f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)在正交变换χ=Qy下的标准形为,2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
. [*] 则2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
=z
1
2
-z
2
2
-z
3
3
;(规范形) [*]
解析
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考研数学二
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