2. 考研
  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ(其中χ＝(χ1，χ2，χ3)T，A是三阶实对称矩阵)经正交变换χ＝Qy(其中y＝(y1，y2，y3)T，Q是三阶正交矩阵)化为标准形2y12－y22－y32，又设A*α＝α(其中A*是A的伴随矩阵，α＝(1，1，－

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ(其中χ＝(χ1，χ2，χ3)T，A是三阶实对称矩阵)经正交变换χ＝Qy(其中y＝(y1，y2，y3)T，Q是三阶正交矩阵)化为标准形2y12－y22－y32，又设A*α＝α(其中A*是A的伴随矩阵，α＝(1，1，－

admin2016-03-16  78
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ(其中χ＝(χ1，χ2，χ3)T，A是三阶实对称矩阵)经正交变换χ＝Qy(其中y＝(y1，y2，y3)T，Q是三阶正交矩阵)化为标准形2y12－y22－y32，又设A*α＝α(其中A*是A的伴随矩阵，α＝(1，1，－1)T)．求
    (Ⅰ)Q及A；
    (Ⅱ)可逆线性变换χ＝Cz(其中z＝(z1，z2，z3)T，C是三阶可逆矩阵)，它将f(χ1，χ2，χ3)化为规范形．
选项
答案(Ⅰ)A的特征值为2，－1，－1，｜A｜＝2． 当λ＝2时，A*的特征值为1， 故λ＝2所对应的特征向量为(1，1－1)T． 设λ＝－1对应的特征向量为(a，b，c)， 即a＋b－c＝0， 其解为 α1＝(－1，1，0)T，α2＝(1，0，1)T， 对其正交化 β1＝(－1，1，0)T，β2＝(1，1，2)T， 再单位化 [*] 于是所求的正交矩阵为 [*] (Ⅱ)f(χ1，χ2，χ3)在正交变换χ＝Qy下的标准形为，2y12－y22－y32． [*] 则2y12－y22－y32＝z12－z22－z33；(规范形) [*]
解析
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考研数学二

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